Los 'Spurs' erraron tres penales, de los que Tim Krul paró dos, y se quedaron a las puertas de los cuartos de final en la copa doméstica.
Los de José Mourinho, que siguen arrastrando las bajas en ataque de Harry Kane y Heung-min Son, jugaron con Dele Alli de falso nueve y se adelantaron pronto gracias a una jugada a balón parado.
Giovani Lo Celso puso un córner en el minuto 13 y Vertonghan remató para hacer el primer tanto del encuentro en Londres.
Pero el Tottenham no remató el encuentro, lastrado por su falta de eficacia goleadora arriba, y en los últimos minutos un error de su portero les costó el empate.
Michael Vorm no atrapó un disparo sencillo y el cuero se le quedó a Josip Drmic que, a trompicones, solo tuvo que empujarla.
Ni Tottenahm ni Norwich fueron capaces de desnivelar la balanza y el partido se marchó a la prórroga y, tras otros 30 insípidos minutos, a los lanzamientos de penalti.
El Tottenham empezó bien, con Eric Dier convirtiendo su disparo y Michael Vorm parando el primer penalti, pero a partir de ahí se torcieron las cosas para los 'Spurs'.
Erik Lamela pateó a las nubes, Idah no falló para el Norwich y Lo Celso tampoco.
Con todo empate, Marco Stiepermann batió a Vorm, pero el joven Troy Parrott, de la cantera del Tottenham, se encontró con un Krul que se convirtió, como ya hizo en el Mundial de 2014, en el héroe. Atajó al joven Parrott y más tarde a Gedson Fernandes para meter al Norwich en cuartos.
Se medirán en cuartos al ganador del duelo entre el Derby County y el Manchester United.
Es la primera vez desde 1992 que el Norwich alcanza esta ronda de la FA Cup.